МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА” ОДНОКРОКОВІ МЕТОДИ ЧИСЕЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧІ КОШІ ДЛЯ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ з курсу "Чисельні методи" для студентів базового напрямку 6.0802 "Прикладна математика" Затверджено на засіданні кафедри “Прикладна математика” Протокол № 7 від 31.03.2005 р. Львів 2005 Однокрокові методи чисельного розв’язування задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь: Методичні вказівки з курсу «Чисельні методи» для студентів базового напрямку 6.0802 «Прикладна математика»/ Укл.: М.В.Кутнів, Я.В.Пізюр. – Львів: Видавництво Національного університету «Львівська політехніка», 2005.- 18 с. Укладачі Кутнів М.В., канд. фіз-мат. наук, доц., Пізюр Я.В., канд. фіз-мат. наук, доц. Відповідальний за випуск Мединський І.П., канд. фіз-мат. наук, доц. Рецензенти Гнатів Б.В., канд. фіз-мат. наук, доц., Демків І.І., канд. фіз-мат. наук, доц.  ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА §1. Задача Коші для звичайних диференціальних рівнянь Нехай на відрізку
необхідно знайти розв'язок задачі:
(1) де
або в покомпонентному вигляді:
, (2)
. (3) Зауважимо, що систему звичайних диференціальних рівнянь будь-якого порядку можна звести до системи рівнянь першого порядку (1). Добре відомі умови, які гарантують існування та єдиність розв'язку задачі (2), (3). Нехай функції
неперервні в замкнутій області
З неперервності функцій
випливає їх обмеженість, тобто існування константи
такої, що скрізь у
виконуються нерівності
. Крім того, припустимо, що в
функції
задовольняють умову Ліпшиця, тобто
для будь-яких точок
,
області
. Якщо умови, накладені на
виконуються, то існує єдиний розв'язок
системи (2), визначений при
, і такий, що при
приймає задані початкові умови (3). Методи розв'язування звичайних диференціальних рівнянь можна розділити на точні, наближені і чисельні. До точних відносять методи, які дозволяють виразити розв'язок диференціального рівняння через елементарні функції, або зобразити його за допомогою квадратур від елементарних функцій. Однак класи рівнянь, для яких розроблені методи знаходження точних розв'язків, порівняно вузькі і охоплюють дуже малу частину задач, що виникають на практиці. Наближеними називають методи, в яких розв'язок одержується як границя
деякої послідовності
, причому елементи цієї послідовності
виражаються через елементарні функції або за допомогою квадратур. Обмежуючись скінченним числом
, одержимо наближений вираз для
. Прикладом може бути метод розкладу розв'язку в степеневий ряд або метод послідовних наближень Пікара. Ці методи також можуть бути застосовані лише для порівняно простих задач (таких, як лінійні). Чисельні методи – це алгоритми обчислення наближених значень шуканого розв'язку
на деякій вибраній сітці значень аргументу. Розв'язок при цьому одержується у вигляді таблиці. Чисельні методи не дозволяють знайти загальний розв'язок; вони можуть дати тільки який-небуть частинний розв'язок, наприклад, розв'язок задачі Коші (1), (2). Це основний недолік чисельних методів. Однак, ці методи можна застосувати до дуже широкого класу рівнянь і всіх типів задач для них. Тому з появою ЕОМ чисельні методи стали основним засобом розв'язування конкретних практичних задач. Для розв'язування задачі Коші будемо використовувати чисельні методи. Виберемо на відрізку
деяку, взагалі кажучи, нерівномірну сітку
значень аргументу з кроком
так, щоб для вузлів сітки виконувалися співвідношення
. Будемо позначати через
точний розв'зок задачі, а через
– наближений розв'язок. Зазначимо, що наближений розв'язок є сітковою функцією, тобто визначений тільки в точках сітки. Чисельні методи розв'язування звичайних диференціальних рівнянь розділяють на два класи: однокрокові (методи рядів Тейлора, методи Рунге-Кутта) та багатокроко...